Cassirer e il problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani: ordine e misura in geometria

Nel terzo capitolo del primo libro del quarto volume della Storia della filosofia moderna 1906-1907-1920-1940 Ernst Cassirer (1874-1945) seguiva il problema filosofico della conoscenza nei sistemi posthegeliani affrontando il concetto di ordine e misura nella geometria: secondo Erodoto nell’antichità la prima geometria greca derivava dall’originaria geometria egizia; lo sviluppo speculativo scientifico greco della geometria pratica egizia era rilevato da Proclo nel commento ad Euclide tramandando il giudizio di Eudemo della matematica pitagorica come prima matematica teorica base dell’educazione liberale; l’idea matematica greca antica della misura come ordine universale si sviluppa nell’idea moderna e contemporanea della matematica come scienza di ordine o relazione.

E. Cassirer rilevava in G. W. Leibniz (1646-1716) nel Seicento la prima idea moderna della matematica come scienza di ordine e relazione: come studio logico delle leggi della forma delle operazioni del pensiero il calcolo combinatorio era per Leibniz la vera scienza matematica fondamentale: «Questo concetto della mathesis universalis andava anche molto più in là di quanto avesse insegnato Cartesio: esso esigeva una trasformazione e un rinnovamento della geometria per una via contraria a quella seguita da Cartesio nella geometria analitica; i nuovi concetti di Leibniz prepararono il terreno alla analysis situs e agli altri sviluppi moderni della geometria» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, p. 84).

Nella logica combinatoria di Leibniz come scienza matematica fondamentale era da Cassirer rilevata la prima moderna determinazione generale di principio del primato dell’ordine sulla misura in geometria: nel pensiero matematico moderno e contemporaneo la geometria sviluppa i teoremi fondamentali muovendo da pure relazioni d’ordine e vi accorda la metrica dello spazio fisico stabilendo la misura secondo i teoremi del movimento: «La forza del nuovo pensiero si fa sentire soprattutto nella sempre maggiore indipendenza con la quale, nello sviluppo della geometria moderna, il pensiero puramente proiettivo si contrappone a quello metrico. Il principio di questo ordine di idee si può far risalire al secolo XVII, con G. Desargues e B. Pascal; esso però raggiunse la sua superiore maturità e la coscienza della sua indipendenza metodologica soltanto con J. V. Poncelet; questi, per primo, realizzò il programma di una geometria basata sul concetto e lo studio di pure relazioni di posizione e non più su idee di forma e misura… Tuttavia il nuovo programma fu messo in esecuzione con tutto rigore soltanto nella Geometria di posizione di C. von Staudt. In J. V. Poncelet e J. Steiner proprio il concetto fondamentale della geometria proiettiva, il concetto di birapporto, era stato definito coll’aiuto di considerazioni metriche… Staudt esige qui una nuova definizione indipendente dalla metrica… risultò la possibilità di costruire con tutto rigore una geometria proiettiva che comprendeva la comune geometria metrica e tutte le geometrie conosciute come casi particolari; inoltre risultava chiaramente la relazione reciproca tra tali geometrie… Sembrava dunque che si fosse raggiunta finalmente la meta alla quale mirava anche N. I. Lobacevskij quando intitolò la sua opera Pangeometria. La geometria proiettiva appare ora come la vera lingua universale, rispetto alla quale la comune geometria metrica si comporta come un singolo idioma… F. Klein stesso nella interpretazione che diede della geometria non euclidea… la volle collocare nel vasto quadro della geometria proiettiva» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 84-86-87).

Nel pensiero matematico moderno e contemporaneo il carattere puro o a priori della geometria come scienza ipotetico-deduttiva era da Cassirer storicamente rilevato nello stesso sviluppo delle geometrie non euclidee come sistemi geometrici alternativi alla geometria euclidea: è il carattere puro a priori o indipendenza da realtà ed esperienza a conferire rigorosa scientificità alla metrica dei sistemi geometrici subordinando la misura alle relazioni d’ordine secondo i teoremi del movimento come concetto empirico purificato: «Lungi dal mettere in dubbio il carattere aprioristico della geometria le geometrie non euclidee hanno anzi reso più evidente tale carattere… con le premesse incluse nel concetto di movimento si fa entrare nella geometria qualcosa di empirico. Passando alla metrica non possiamo infatti ignorare tali premesse… il carattere rigorosamente scientifico delle diverse geometrie metriche è basato sul fatto che non abbiamo a che fare col reale nello spazio ma con sistemi ipotetico-deduttivi. Gli assiomi, di per se stessi, non dicono nulla sull’esistenza empirica di oggetti o fenomeni: sono unicamente schemi logici vuoti di scienze possibili… Qui ritorniamo dunque all’argomento trattato da H. Poincaré riguardo alla sistematica della geometria: la relazione tra esperienza e pensiero. Nessuna geometria è attinta semplicemente dall’esperienza; però una di esse può essere scelta in modo adatto alla risoluzione di certi problemi posti dall’esperienza» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 88-89-90).

La subordinazione della misura all’ordine e quindi il primato dell’ordine sulla misura in geometria emergeva infine dalla considerazione filosofico-scientifica del rapporto di sistema fisico-geometrico e realtà secondo la dialettica conoscitiva di teoria ed esperienza: dall’empirismo matematico sofisticato di Hermann von Helmholtz (1821-1894) al convenzionalismo di Henri Poincaré (1854-1912) la comprensione otto-novecentesca della relazione tra momento operativo ed empirico e momento razionale della conoscenza rinnovava per Cassirer il pensiero antico: «Che anche la fisica, nel suo progresso puramente intrinseco, possa condurre a problemi che esigono il passaggio ad una geometria non euclidea è provato dalla teoria della relatività. Con ciò risulta nuovamente, come si poteva vedere da tutto lo sviluppo concettuale della geometria proiettiva, che la metrica contiene in sé un elemento variabile di fronte alle costanti della forma spaziale considerata in generale… Con ciò si è creato un nuovo indirizzo di pensiero… Ma non è intervenuta alcuna frattura logica; anzi, il nuovo ideale della conoscenza è congiunto all’antico, tanto storicamente quanto sistematicamente, per mezzo di organi intermedi ben determinati, in una perfetta continuità» (Ernst Cassirer, Storia della filosofia moderna, volume 4, 1940, Il Saggiatore 1968, pp. 90-91).